查找算法 AVL树

二叉查找树的树高度影响了查找的效率，需要尽量减小树的高度，AVL树正是这样的树。

目前已经有更加完备的代码实现，请参考：https://github.com/hunterhug/gomap 。

AVL树是一棵严格自平衡的二叉查找树，1962年，发明者 Adelson-Velsky 和 Landis 发表了论文，以两个作者的名字命名了该数据结构，这是较早发明的平衡二叉树。

定义如下：

由于树特征定义，我们可以计算出其高度 h 的上界 h<=1.44log(n)，也就是最坏情况下，树的高度约等于 1.44log(n)。

假设高度 h 的AVL树最少有 f(h) 个节点，因为左右子树的高度差不能大于1，所以左子树和右子树最少节点为： f(h-1)，f(h-2)。

因此，树根节点加上左右子树的节点，满足公式 f(h) = 1 + f(h-1) + f(h-2)，初始条件 f(0)=0,f(1)=1。

经过数学的推算可以得出 h<=1.44log(n)，由于计算过程超纲了，在此不进行演算。

树的高度被限制于 1.44log(n)， 所以查找元素时使用二分查找，最坏查找 1.44log(n) 次，此时最坏时间复杂度为 1.44log(n)，去掉常数项，时间复杂度为：log(n)。

为了维持AVL树的特征，每次添加和删除元素都需要一次或多次旋转来调整树的平衡。调整的依据来自于二叉树节点的平衡因子：节点的左子树与右子树的高度差称为该节点的平衡因子，约束范围为 [-1，0，1]。

平衡二叉查找树比较难以理解的是添加和删除元素时的调整操作，我们将会具体分析。

AVL树的数据结构如下：

其中 Height 表示以该节点作为树的根节点时该树的高度，方便计算平衡因子。

更新树的高度，代码如下：

计算树的平衡因子，也就是左右子树的高度差，代码如下：

添加元素前需要定位到元素的位置，也就是使用二分查找找到该元素需要插入的地方。

插入后，需要满足所有节点的平衡因子在 [-1，0，1] 范围内，如果不在，需要进行旋转调整。

旋转有四种情况：

旋转规律记忆法：单旋和双旋，单旋反方向，双旋同方向。

以下示意图摘自维基百科，阅读代码时可以参考。

在左子树上插上左儿子导致失衡，需要单右旋：

因为红色元素 2 的产生，其最近的父亲节点 Root 失衡了，元素 2 导致了元素 Root=5 的失衡，需要调整。

将 Pivot=3 代替元素 5 的位置成为新的 Root，然后元素 5 委屈一下成为 3 的右儿子，而 3 的右儿子变成了 5 的左儿子，如上图。

相应调整后树的高度降低了，该失衡消失。我们可以看到红色元素 2 有两个儿子，实际上在添加操作时它是一个新的节点，是没有儿子的，这种有儿子的情况只发生在删除操作。

如果一时难以理解，可以多看几次图好好思考。

代码如下：

在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：

代码如下：

在左子树上插上右儿子导致失衡，先左后右旋：

代码如下：

直接复用了之前左旋和右旋的代码，虽然难以理解，但是画一下图，确实这样调整后树高度降了，不再失衡，一切 perfect。

在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：

代码如下：

四种旋转代码实现后，我们开始进行添加元素操作：

一开始从树根节点开始插入新值：tree.Root = tree.Root.Add(value)，因为插入值后会返回新的根节点，也就是说调整过程中树根节点会变化，所以要重新将新根节点赋予老的根节点。

在 func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) 函数中，如果根节点为空，那么需要返回新的根节点：

接着，如果插入的值和节点的值一样，直接更新 Times：

否则根据值的大小，旋转插入到左子树或右子树，我们只分析插入右子树的代码：

因为值添加到了右子树，所以转换成了在右子树添加元素：node.Right = node.Right.Add(value)，之后要判断根节点的平衡因子是否变化了。

值插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。当平衡因子 factor == -2 表示右子树的高度变高了，导致 左子树-右子树 的高度从 -1 变成了 -2，所以要旋转。

判断新插入的值是在右子树的左儿子还是右儿子上：

如果在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：LeftRotation(node)，如果在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：RightLeftRotation(node)。

最后需要更新树根节点的高度，并返回树根(如果曾经旋转，表示树根变了，需要返回新的树根)：

添加元素时先要找到元素插入的位置，找到位置后逐层自底向上更新每个子树的树高度，并根据子树平衡是否被破坏，需要进行旋转操作。

由于树的高度最高为 1.44log(n)，查找元素插入位置，最坏次数为 1.44log(n) 次。逐层更新子树高度并判断平衡是否被破坏，最坏需要 1.44log(n) 次，因此可以得知添加元素最坏时间复杂度为：2.88log(n)，去掉常数项，时间复杂度为：log(n)。

关于旋转次数，当插入节点后，某子树不平衡时最多旋转 2次，也就是双旋该子树即可恢复平衡，该调整为局部特征，调整完后其父层不再需要旋转。也就是说，插入操作最坏旋转两次即可。

由于代码的递归实现方式，当某子树旋转过后其父层子树仍然需要判断平衡因子，判断是否需要旋转，该操作是不必要的，因为子树旋转过后全局已经平衡了，不必再判断父层的平衡因子。

对此可以进行代码优化，在左子树或右子树插入元素后，除了返回根节点，还返回其是否旋转过的辅助变量，如：func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) (newNode *AVLTreeNode, rotate bool) ，根据返回的辅助变量 rotate，可以：

但此优化意义不大，因为返回辅助变量后仍然需要判断，判断辅助变量和判断平衡因子，时间复杂度一样。

插入元素进行调整后，需要递归向上更新每一棵子树高度，其时间复杂度为 log(n)，但可以优化，当两棵子树高度都没有变化时，那么上面的父层子树们都不需要更新树高度，直接退出，由于是递归程序，如何向上传递这个信息，引入了额外空间成本，且不可避免仍然会出现所有层级的父节点都必须更新树高度，优化意义不是很大。

其他操作与二叉查找树通用，代码如下：

查找操作逻辑与通用的二叉查找树一样，并无区别。

删除元素有四种情况：

后面三种情况最后都变成 情况1，就是将删除的节点变成叶子节点，然后可以直接删除该叶子节点，然后看其最近的父亲节点是否失衡，失衡时对树进行平衡。

举个例子，删除叶子节点，如图：

删除节点 24，导致节点 26 的子树不平衡了，这时需要对该子树进行旋转，旋转后如图：

可以发现这时树仍然不平衡，这时是节点 22 的子树不平衡，需要继续旋转，旋转后如图：

实现代码如下：

当删除的值不等于当前节点的值时，在相应的子树中递归删除，递归过程中会自底向上维护AVL树的特征。

因为删除后可能因为旋转调整，导致树根节点变了，这时会返回新的树根，递归删除后需要将返回的新根节点赋予原来的老根节点。

情况1，找到要删除的值时，该值是叶子节点，直接删除该节点即可：

情况2，删除的节点有两棵子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点：

情况3和情况4，如果被删除的节点只有一个子树，那么该子树一定没有儿子，不然树的高度就大于1了，所以直接替换值后删除该子树节点：

核心在于删除后的旋转调整，如果删除的值不匹配当前节点的值，对当前节点的左右子树进行递归删除，递归删除后该节点为根节点的子树可能不平衡，我们需要判断后决定要不要旋转这棵树。

每次递归都是自底向上，从很小的子树到很大的子树，如果自底向上每棵子树都进行调整，约束在树的高度差不超过1，那么整棵树自然也符合AVL树的平衡规则。

删除元素后，如果子树失衡，需要进行调整操作，主要有两种：删除后左子树比右子树高，删除后右子树比左子树高。

如果删除了右子树的节点，左边比右边高了，不平衡了：

为什么要这么调整呢，看图说话，有两幅图参考：

这幅图可以看到：

所以应该需要右旋：newNode = RightRotation(node)

这幅图可以看到：

所以应该需要先左后右旋：newNode = LeftRightRotation(node)

还有一种特殊情况，和上面的都不一样，如图：

我们如果删除节点 22 或节点 23，这个时候根节点 20 失衡了。

这个时候，无论使用右旋，还是先左旋后右旋都可以使树恢复平衡，我们的 if 判断条件使用了右旋。

如果是先左旋后右旋，那么旋转后恢复平衡，如图对根结点进行旋转：

如果使用右旋也可以，如图对根结点进行旋转：

如果删除了左子树的节点，右边比左边高了，不平衡了：

为什么要这么调整呢，看图说话，有两幅图参考：

这幅图可以看到：

所以应该需要左旋：newNode = LeftRotation(node)

这幅图可以看到：

所以应该需要先右后左旋：newNode = RightLeftRotation(node)

当然，还有另外一种特殊情况，与 5.1 章节类似，使用左旋还是先右旋后左旋都可以，在这里就不阐述了。

进行调整操作后，需要更新该子树的高度。如果没有旋转过，更新之前节点的树高度。如果曾经旋转过，树根变了，更新新的树根节点高度。

删除操作是先找到删除的节点，然后将该节点与一个叶子节点交换，接着删除叶子节点，最后对叶子节点的父层逐层向上旋转调整。

删除操作的时间复杂度和添加操作一样。区别在于，添加操作最多旋转两次就可以达到树的平衡，而删除操作可能会旋转超过两次。

如图是一棵比较糟糕的 AVL 树：

删除节点1，旋转可以一直旋转到根节点，比插入旋转最多旋转两次的次数更多。

如何确保我们的代码实现的就是一棵 AVL 树呢，可以进行验证：

运行请看完整代码。

运行结果：

可以看到，它确实是一棵 AVL 树。

PS：我们的程序是递归程序，如果改写为非递归形式，效率和性能会更好，在此就不实现了，理解AVL树添加和删除的总体思路即可。

AVL 树作为严格平衡的二叉查找树，在 windows 对进程地址空间的管理被使用到。