导数（导数的定义）

大家好，我是专升本数学学霸，这次我们来讨导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则。那你知道导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则呢？没关系，学霸来帮你来了。

谈论导数之前，我们先看看两个例子：

直线运动的速度①取从时刻 t0到t这样一个时间价格，在这段时间内，质点从为止S0=f(t0)移动到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,质点的平均速度。②瞬时速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切线问题设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果各项MN绕点M旋转而趋于极限为止MT，直线MT就称为曲线C在点M处的的切线。

tan θ=（y-y0）/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)

斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)（x→x0）

一、导数的定义

设函数 y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量△x（点x0+△x仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)；如果 △y与△x之比当△x→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)的在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f(x0),即

也可记住

二、导数的几何意义

曲线在点（x0，y0）的切线方程：

曲线在点（x0，y0）的法线方程：

注：曲线的 切线方程的斜率 与 曲线的 法线方程的斜率 互为负倒数

三、函数的可导性与连续性的关系

设函数y=f(x)在点x处可导，即

存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道

其中α为当 △x→0时的无穷小，上式两边同乘 △x 得

当 △x→0时，△y→0。函数yy=f(x)在点x处是连续的。所以，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么函数在该点必连续。

四、函数的求导法则

①函数的和、差、积、商的求导法则

和、差： （u ± v）’=u’± v’

记：和、差的导数分别求导，再和、差。

积：(uv)=u v+u v ， (Cu)=C u(C为常数)

简记：乘积的导数是 前导后不导加上后导前不导（前是指 乘积中的第一个因子，后是指 乘积中的第二个因子）。

商：(u/v)=(u v-u v) / v^2 （v不等于0）

简记：商的导数是 子导母不导 减去 母导子不导 最后 除以 分母的平方（子 指分子，母指 分母）。

②反函数的求导法则

如果函数 x=f(y)在区间I内单调、可导且f (x)≠0，那么它的反函数在反函数的区间内也可导，且

记：反函数的导数 等于 原函数的导数的倒数

③复合函数的求导法则

如果u=g(x) 在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数 y=f[g(x)]在点x可导，其导数为

记：复合函数的导数 等于 一层一层往里面求导，再乘积。

例如 (sin nx)= n cos nx

④常用的导数公式

（1）( C )=0

（2）(x^u)=u x^(u-1)

（3）(sin x)= cos x

（4） (cos x)=-sin x

（5）(tan x)= sec(^2) x

（6）(cot x)=-csc(^2) x

（7）(sec x)=sec x ·tanx

（8）(csc x)=-csc x cot x

（9）(a^x)=(a^x) · ln a

（10）(e^x)=e^x

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

不要怕，学霸来帮你来了，这几个有口诀可以帮助记忆：

口诀：

常为零，幂降次，对倒数，

指不变，正变余，余变正，

切割方，割乘切，反分式。

口诀含义：

常数的的导数为零。

幂函数的导数是指数减一，在把原指数做系数。

对数函数的导数是倒数。

指数的导数不变，在乘以 ln a。

正弦函数变余弦函数，余弦函数变正弦函数。

正切和余切的导数分别是正割的平方和余割的平方。

正割和余割的导数分别是 正割乘以正切 和 余割乘以余切

反三角函数的导数都是分式。

五、高阶导数

一般地，函数y=f(x)的导数 y=f(x)仍然是x的函数。我们把 y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作 y 或

f(x)叫做f(x)的一阶导数，一阶导数的导数是二阶导数，二阶导数的导数是三级导数。

...一般地，（n-1）阶导数的导数叫n阶导数。

y, y ,y, y^(4), . . . . . .y^(n)

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