「初中数学」线段、射线、直线

一、概念全解

1、基本事实1：两点之间，线段最短．

2、距离定义：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离

3、线段的两种表示方法：

(1)用两个端点的大写字母：线段AB(线段BA)

(2)用一个小写字母：线段a

4、射线表示方法：

用两个大写字母，端点在前：射线AB(A为端点)

5、同一射线的两同：同端点，同方向

6、直线的两种表示方法：

(1)用两个大写字母：直线AB(直线BA)

(2)用一个小写字母：直线l

7、线段、射线、直线的联系与区别：

8、基本事实2： 两点确定一条直线．

9、平面上，过1点可以画无数条直线，过3任2可以画1或3条直线．

10、平面上有n个点，

直线上有n个点，

11、点与直线的位置关系：

(1)点在直线上(2)点在直线外

12、线段的长短比较方法：度量法、叠合法

13、线段的和差

14、线段的中点书写：

二、典例剖析

例：判断正误：

(1)直线AB和直线BA是同一条直线．

(2)射线AB和射线BA是同一条射线．

(3)线段AB和线段BA是同一条线段．

(4)画直线AB＝3cm．

(5)画射线CD＝2cm．

(6)延长射线PQ到点R．

(7)延长线段MN到点P．

(8)经过A、B、C三点可以画三条直线．

(9)连接两点的线段叫做两点的距离．

(10)AB＝BC，则点B是线段AC的中点．

(11)过两点有且只有一条线段．

(12)已知线段AB＝3cm，线段BC＝2cm，则A，C两点的距离为5cm．

解析：

(1)正确，直线的两个大写字母顺序可以交换．

(2)错误，同一射线需满足同端点，这里的两个端点分别是A、B．

(3)正确，线段的两个大写字母顺序可以交换．

(4)错误，直线长度不可度量．

(5)错误，射线长度不可度量．

(6)错误，射线只可以反向延长．

(7)正确，线段两端均可延长．

(8)错误，若A、B、C三点在同一直线上，则只能画一条直线．

(9)错误，连接两点的线段的长度叫做两点的距离．

(10)错误，必须强调，点B在线段AC上，否则会出现如下的反例：

(11)错误，过两点有且只有一条直线，否则会出现如下的反例：

过BC的线段有AD，AE两条

(B、C不作为线段端点的情况下)

(12)错误，点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，也可能在线段AB外，反例如下：

根据三角形三边关系，可得AC的长度范围，1cm≤AC≤5cm．

三、思维提升

1、比例线段求值

例1：

如图，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，D是AB的中点，点E、F在BC上，且BE：EF：FC＝1：2：5，AC＝36，求DE和DF的长．

分析：

本题中，已知3条线段长度的比例关系，我们可以马上设x表示3线段的长度，从而可求3线段和的BC的长度，再根据BC与AB的数量关系，表示出AB的长度，建立关于x的方程，从而可求其余线段．

解答：

设BE＝x，EF＝2x，FC＝5x，

∴BC＝BE＋EF＋FC＝8x，

∵BC＝2AB，∴AB＝4x，

∵D为AB中点，∴DB＝2x，

AC＝AB＋BC＝12x＝36，∴x＝3．

∴DF＝DB＋BE＋EF＝5x＝15．

DE＝DB＋BE＝3x＝9．

变式：

如图，已知AC＝200，BC＝3AB，且BM：MN＝2：3，MN：NC＝2：5，求BN的长．

分析：

本题与例1如出一辙，我们可以设x表示AB，BC的长，建立方程求解，再将BM，MN，NC的连比求出，继续设未知数表示从而求解．

解答：

2、多解问题

例2：

分析：

本题中，点C的位置是确定的，但点D的位置不确定，它在直线AB上，可能在线段AB上，也可能在延长线上，因此，可以有2解．

解答：

变式：

已知线段AB＝10，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5，求AP的长．

分析：

本题也与例2类似，M点的位置确定，但N点的位置不定，可能在点M左侧，也可能在点M右侧，因此，本题也有2解，为了让同学们自己思考，笔者就不画图，只给出过程了．

解答：

3、双中点问题

例3：

已知线段AB＝8，点M为直线AB上除AB外任意一点，点C是AM的中点，点D是BM的中点，求线段CD的长．

分析：

这是典型的双中点问题，点M的位置不确定，可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，也可以在线段BA的延长线上，但是，无论怎样，答案都是不变的！

线段CD的长，必定看作其它线段长的和或差，这里教给大家一个诀窍，点C是AM的中点，点D是BM的中点，这里的点M出现了两次，那么CD的长必然为CM和DM的和或差，不信我们来看解答过程．

解答：