数学之神阿基米德与他的弓形

作者｜大小吴

来源｜大小吴的数学课堂

阿基米德（公元前287年——公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”、“数学之神”的美誉，其脍炙人口的名言'给我一个支点,我就能撬起地球'至今为人们所津津乐道。

阿基米德传奇的一生留下了许多为人称道的故事，相信你一定听说过镜子聚光、浮力原理等故事。

公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁。伟人之死的故事有诸多版本，最广为流传的故事是这样的：罗马士兵闯入了阿基米德的住宅，看见一位老人正在自家宅前的地上画图研究几何问题，阿基米德说：“走开，别动我的图！”战士一听十分生气，于是拔出刀来，朝阿基米德身上刺下去。自此，一位旷世奇才陨落。

阿基米德在几何学方面继承了老师欧几里得的衣钵，达到了极高的造诣，其数学思想中蕴含早期微积分的萌芽，并已经十分接近现代微积分。他所缺少的是现代数学的极限概念，但其思想实质却延伸到了17世纪趋于成熟的无穷小分析领域中去，即使科学巨擘牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。

阿基米德在其著作《抛物线求积法》中研究了求曲线图形面积的问题，并用非常接近现代积分方法的穷竭法得到了这样的结论：

任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。

此命题用现代数学的语言描述如下：

抛物线与直线交于两点，是中点，在抛物线上且平行于轴，则直线与抛物线形成的弓形面积

为什么会有这个结论成立呢？今天大小吴就来和大家一起探讨神奇的弓形面积。

首先我们来证明如下定理：若

在高中解析几何中这类问题比较常见，因为，所以

联立直线与抛物线方程可得：

则根据韦达定理，两根和

两根积

所以点坐标为

即

又由于平行于轴，且在抛物线上，因此点坐标，因此

又因为

所以

即

所以

证明完毕。

有了上述定理，我们可以知道只与抛物线参数以及

如图，取中点，中点，并作平行线交抛物线于

显见，所以

因此增加的两个小三角形面积之和是倍三角形的面积。

继续上述操作，取每段新弦的中点作平行于轴的直线与抛物线得到交点，并于弦端点连接，计算所得到的新三角形的面积（和），并将此操作无限重复下去。

刚刚已讨论过，第一次操作，增加的面积为

第二次操作，增加了4个三角形，面积共增加

第三次操作，增加了8个三角形，面积共增加

……

可得到一个公比为的无穷等比数列，随着操作继续进行下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦所围成的“弓形”。

所以

即

证明完毕！

作为21世纪的人类，我们当然可以用更强有力的现代数学工具进行计算，来试试看积分！

弓形面积我们可以通过以下积分式进行计算（不失一般性，假定点在点下方）：

接下来要做的就是一步步认真算下去即可：

把上次联立抛物线与直线方程得到的结论

代入，原式

而

所以原式

即

即

证明完毕。

阿基米德在其短篇论文《方法》（The Method）中介绍了怎样用力学的思想证明这个定理，在这个基本上属于物理性质的推理过程中，他利用了在别处得到的关于重心的一些定理。看完这个证明简直惊为天人，你不得不折服于阿基米德的天才。让我们一起来看看这个巧妙的方法：

如图，给定一任意抛物线，是其中任意一条弦，是中点，是抛物线在处的切线，又设是平行于抛物线轴的直线（在解析几何中，若抛物线方程为，则平行于轴），直线交于，易证（可用解析几何证明）

作平行于，设直线交于，根据几何知识可证，延长到使得。再在弦上任取一点，过点作 平行于，交于，于，抛物线于，同理有

好了，复杂的构图完成了，准备工作已就绪。

现在阿基米德把弓形和三角形的面积一起进行比较，他把

即

上式从物理的角度来说就是：若把和看作是杠杆的两臂，其中是杠杆的支点，则若把看作是放在处的重物（假定线段都是有重量的，想想杠杆原理），它就会与放在处的重物相平衡。

因此，把所有像这样的线段放在处，将与把所有像这样的线段各自（把质量）集中于其中点（该线段的重心）后放在处的重量相平衡。

所有的叠加是什么？显然，之前已经讨论过，即三角形，因此，把所有线段（的质量）集中于其重心处就“相当于”把三角形（的质量）集中于其重心处，而三角形的重心显然在直线上，且满足（如图所示）。

而所有的叠加即为抛物线与直线所围成的弓形。

则根据杠杆原理，

即

现在相当于知道了三角形的面积是弓形面积的3倍，想想接下来该怎么做？

是的，若要最终得到三角形的面积与弓形面积的关系，只要求得三角形与三角形的面积比即可！看看原图，这里蕴含着怎样的几何关系？

显然，由于和分别是，中点，因此有

这相当于我们知道了三角形的面积是三角形面积的4倍！也就意味着有

证明完毕!

参考文献[1]（美）M.克莱因.古今数学思想（第一册）[M].张理京，张锦炎译.上海科学技术出版社，1979.