分数之最简分数

一．概念描述

现代数学：现代数学对最简分数有如下定义：

①对于分数p/q，如果非零整数P和q互质，这样的分数叫作最简分数，又称不可约分数。

②分子、分母只有公刚数1的分数叫作最简分数，或者说分子和分母是互质数的分数，叫作最筒分数。

③最简分数又叫既约分数、不可约分数。它可理解成已经约分过的分数，也就是分子和分母是互质数的分数。

小学数学：分子、分母是互质数的分数，叫作最简分数。按照字面定义，即若(a，b)=1，那么a/b是最简分数，如1/2，3/4，5/2，7/1等真分数和假分数都叫作最简分数。实际上，最简分数的应用范围仅针对真分数而言。

二．概念解读

我们知道，在小学数学中，建立最简分数的概念有利于学习分数的约分以及整数比的化简。但是，这仅仅是最简分数概念的最初应用。在数学上定义既约分数（最简分数）在很大程度上都是为了研究的需要。例如，我们要研究分数与小数的互化。小学数学课本中指出：“一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个质因数就不能化成有限小数。”根据这个结论，一个分数当且仅当它化为最简分数时，才能据以判断它将化为何种小数。这里并不是单对真分数而言的，也是针对假分数来说的。如果只是把最简分数定义为分子、分母是互质数的真分数，那么上述结论就不能起到包含各种情况的作用了。

又如，为了研究无理数的需要，在中学数学里，以√2为例，采用反证法证明√2是无理数。假设√2是有理数，那么就可以表示成既约分数m/n的形式。由于这一类证明事先不知道也不必知道m是真分数还是假分数，它能否化为带分数以及它的分母是否等于1，所以，这里只能规定n≠0，且m和n是互质数的整数。如果把最简分数定义为“分子、分母

是互质数的真分数或带分数”，或者把最简分数定义为“分子、分母是互质数的且分母不是1的分数”，那么都不能概括上述的各种情况，因而是无助于无理数存在的证明的。

从上面两个例子中可以看出，我们把分子分母是互质数的分数定义为最简分数，是有利于数学上的计算和研究的。

三．教学建议

最简分数是在学习了约分的基础上进行的。教学时，教师可以进行情境导入：一共要游完100米，小明游了75米，小华游了全程的3/4，比一比谁游得远一些？因为刚刚学完约分，学生会利用相关知识，把75/100化成3/4。然后学生通过充分讨论验证得出结论：75/100和3/4的分数大小相等。这样的教学从学生已有的认知发展水平和知识经验出发，为学生提

供充分的时间和空间进行思考，通过知识的迁移，使学生能够运用学过的知识解决新的问题，在观察、发现以及和同学的交流中理解约分能使分数化简。紧接着教师追问“75/100和3/4有什么不同？”，让学生充分表达自己的想法，在交流想法的过程中达成共识：这两个分数相等，并且75/100化成3/4最简单，因为分子、分母都已经比较小了。然后教师可以继续鼓励学生思考：为什么3/4与75/100比是简单了，那还有没有和它们相等、但比3/4还简单的分数？为什么3/4是最简单的？这可以为学生提供小组交流与合作的时间与空间，使他们能充分交流自己的看法，逐步构建新知，理解最简分数的本质。此时，再揭示最简分数的概念---3/4的分子、分母的公因数只有1，这样的分数就是最简分数。

需要指出的是，对于这样的小学数学概念，不一定要用专业、严谨的词句去定义，而一定要以具体直观的实例做支撑，让学生理解。最简分数的教学属于概念教学，在概念教学的过程中，为了使学生顺利获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观察，并在此基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。即通过一系列的判断、推理，使概念得到巩固和运用。例如，揭示最简分数的概念后，让学生两人一组各举出5个最简分数：或者出示多个分数，问他们哪些分数是最简分数并说明理由等，从而巩固最简分数的意义。

教学中，学生的主体地位是必要的，但教师在教学全过程中的主导地位也不能忽视。教师应发挥好主导作用，因为教师与学生的主、客体地位是相互依存、相互规定、在一定条件下又相互转化的。例如，教师可以追问：对于不是最简分数的分数，你们有办法化成最简分数吗？然后请学生尝试做，继而交流讨论化最简分数的方法。具体做法如下---方法一：用分子，分母的公因数，逐次去除分子和分母，最后得到最简分数。方法二：用分子，分母的最大公因数，分别去除分子和分母，得到最简分数。

这样学生不仅掌握了什么是最简分数，同时也掌握厂约分的方法---方法是用来解决问题的，更是学生主动发现的。因此在教学中，教师不能只枯燥地讲解概念，而要在一定情境中激发学生的创造激情，点燃学生解决问题的欲望，这样数学概念教学才能有生命力。

在概念教学中，教师还要善于为学生创造条件，让学生沿着观察、思维、理解、表达的过程，由感性到理性、由具体到抽象地去掌握概念。这样极易调动学生的积极性、主动性，也可以教会学生去发现真理。

四．推荐阅读

《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第四章从分数等价性的角度介绍了最简分数，并阐明最简分数是分数的等价类中的一个特殊代表。