九宫格填数游戏的数学解法

九宫格

九宫格有9个格子，一位非零自然数的数量正好也是9个，人们很容易想到将这9个自然数填到9个格子中，要满足的条件是：每一行，每一列，每一对角线，数字之和都相等。这里的数字之和只要求相等，并不要求一定要等于多少。

在缺少数学有关知识的时候，人们会使用不断的去尝试，尝试许多次，可能会发现一种填法，显然这种方法只能死记硬背，并不能轻松的教会别人。学生在学过方程组后，自然会想到列方程组去求解。这里的方程组存在一个问题，就是未知数有多个，学生使用传统的高斯消元法，不一定知道要先消去哪个未知数，而使用大学线性代数中的增广矩阵，通过对增广矩阵进行初等行变换，就能轻松的求解这类方程组了。

设九宫中的9个不同的一位非零自然数从左至右从上至下依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，每一行，每一列，每一对角线的数字之和为a。如下图所示。

依题意，我们可以列出下面的方程组。

对于复杂的方程组，我们使用高斯消元法会比较困难，往往不知道应该消去哪些元，这时候我们将方程组的系数和常数项写成增广矩阵，然后对矩阵进行初等行变换，化到最简矩阵，我们就知道方程组的解是什么了。

根据0=45-3a，可得a=15。如果a≠15，则方程组无解。将a=15代入矩阵后，进一步初等行变换，如下

根据最简矩阵，可以得到方程组如下：

写成通解形式为

下面我们要确定自由变量x8和x9的取值范围。依题意，可知

结合上述方程组，最后我们得到x8和x9必须满足以下的关系

注意条件⑴至⑺，若x8=1，x9分别取2，3，4，6，7，8，9，则得到

若x8=2，x9分别取1，3，4，6，7，8，9，则得到

若x8=3，x9分别取1，2，4，6，7，8，9，则得到

同理，若x8=4，x9不定，无解，若x8=6，x9不定，无解，若x8=8，x9不定，无解，

最终，x8和x9的所有解为：

代入通解公式，得到总共8个解，如下

用图形来表示，如下图所示

上图中的任何一个九宫格数字图形，通过镜像和旋转变化，都可以得到其它7个九宫格数字图形。

如果不要求9个数字是一位自然数，也不要求互不相等，则依题意，我们可以列出下面的方程组。

同样的，我们对增广矩阵进行初等行变换，

根据最简矩阵，可以得到方程组如下：

以上的方程组，就是九宫格问题的通解，其中x8=x8，x9=x9，。有了这个通解，我们就可以证明关于九宫格数字游戏的所有性质。

为了方便起见，给九宫格的格子起个名字。最中间的格子叫做中心格。位于四个角位置的格子叫做角格。两个角格之间的那个格子叫做棱格。

性质一、连续的9个自然数，或者构成等差数列的9个自然数，从小到大排列，序号分别为一至九，填到九宫格中，满足每行每列和每对角线之和均相等的一种填法是：

二四为肩，六八为足，七三为腰，上九下一，中心格为五。

证明：设等差数列从小到大分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9。按照二四为肩，六八为足，七三为腰，上九下一，中心格为五的填法，如下图所示。

设a1=a，公差为d，则得

代入表格中，得到：

从表中观察可得，每一行的和为3a+12d，每一列的和为3a+12d，每一对角线的和为3a+12d。说明填数是正确的。

从而证明性质一是正确的。

性质二、九宫格中，每行每列和每对角线之和，等于中心格数字的3倍。

证明：根据九宫格问题的通解

显然有，即a=3(x5)。得证。

性质三、九宫格中，每行每列和每对角线，去掉公共数，剩余两个数之和也相等。如下图所示，

可得：公共角格，x2+x3=x5+x9=x4+x7等,公共棱格，x1+x3=x5+x8等,公共中心格，x1+x9=x2+x8=x3+x7=x4+x6。

证明：根据

易得：公共角格，x2+x3=x5+x9=x4+x7等,公共棱格，x1+x3=x5+x8等,公共中心格，x1+x9=x2+x8=x3+x7=x4+x6。

所以性质三是正确的。

性质四、九宫格中，对角格数之和，对棱格数之和，均等于中心格数的2倍。如图所示

一定有：x1+x9=x3+x7=x2+x8=x4+x6=2(x5)。

证明：根据九宫格问题的通解

可得：x1+x9=2a/3，x3+x7=2a/3，x2+x8=2a/3，x4+x6=2a/3，2(x5)=2a/3，所以x1+x9=x3+x7=x2+x8=x4+x6=2(x5)。

性质五、九宫格中，两邻棱格数之和，等于两邻棱格对角线上较远的角格数的2倍。如图所示

一定有：x2+x4=2(x9)，x2+x6=2(x7)，x4+x8=2(x3)，x6+x8=2(x1)。

证明：根据九宫格问题的通解

可得：x2+x4=2(x9)，x2+x6=2a-2(x8)-2(x9)=2(x7)，x4+x8=2(x8)+2(x9)-2a/3=2(x3)，x6+x8=4a/3-2(x9)=2(x1)。

性质五中的三个数连线构成的三角形，我们不妨称为九宫格一角二棱三角形。

性质六、九宫格数字游戏唯一有解的条件是已知三个数，且三个数不能位于性质五所说的一角二棱三角形中，不能位于过中心格的行上，不能位于过中心格的列上，不能位于过中心格的对角线上。

证明：根据方程组

可知，有三个自由变量，分别是x8,x9和a，如果知道了a，也就知道了x5,即知道这三个未知数，就能求出其它6个未知数。

如果不知道a,知道x1, x8,x9,根据（1）式，可求出a值，知道x2, x8,x9,根据（2）式，可求出a值，知道x3, x8,x9,根据（3）式，可求出a值，知道x4, x8,x9,根据（4）式，可求出a值，知道x6, x8,x9,根据（6）式，可求出a值，知道x7, x8,x9,根据（7）式，可求出a值。

如果知道x8和x5，不知道x9, 知道x1, x8,x5,根据（1）式，可求出x9值，知道x3, x8,x5,根据（3）式，可求出x9值，知道x4, x8,x5,根据（4）式，可求出x9值，知道x6, x8,x5,根据（6）式，可求出x9值，知道x7, x8,x5,根据（7）式，可求出x9值。

同理如果知道x9和x5，不知道x8,再知道一个未知数，就能求出x8值。

如果只知道x4,x6,x8，根据（4）（6）式，可求出x9和x5。

如果只知道x3,x7,x9，根据（3）（7）式，可求出x8和x5。。

如果只知道x1, x2,x4,将图形旋转180度，就相当于知道了x6, x8,x9。即不知道x8或者x9，可以通过图形旋转，转化为知道了x8或者x9的情况。

如果三个数位于性质五所说的一角二棱三角形中，位于过中心格的行上，位于过中心格的列上，位于过中心格的对角线上，即知道x1,x6,x8；知道x2,x4,x9；知道x2,x5,x8，知道x4,x5,x6（可转化为x2,x5,x8），知道x1,x5,x9，知道x3,x5,x7（可转化为x1,x5,x9）。是无法求出唯一解。读者可自行分析。这里就不再赘述了。

因此至少需要知道三个未知数，且三个数不能位于性质五所说的一角二棱三角形中，不能位于过中心格的行上，不能位于过中心格的列上，不能位于过中心格的对角线上，九宫格才有唯一确定的解。

如果三个已知数位于性质五所说的一角二棱三角形中，位于过中心格的行上，位于过中心格的列上，位于过中心格的对角线上，可分为两种情况：

第一种情况，三个数不满足性质四或者性质五，则九宫格无解；第二种情况，三个数能满足性质四或者性质五，则九宫格有无穷多个解。

总结：

1、性质一至性质六，理解后，很容易就能将结论记下来了，不需要死记硬背。

2、其中性质一的口决，二四为肩，六八为足，七三为腰，上九下一，中心格为五。可改写成，中心格一定填第5个数，若第三行棱格填第1个数，第三行右边的角格填第8个数，则其它各格可计算出。简写为：中心格中间数，8格最小数，9格第二大数，其它可算出。性质一，应用于已知9个等差数列的数，快速填九宫格的问题。请注意，如果9个数不是等差数列，不能按照8格最小数，9格第二大数这个口决去填。

3、其中性质二至性质六，主要应用于九宫格数字游戏。在小学阶段，出题人一般不会出无解或者有无穷多解的情况，因此性质六可以不用考虑。为了记住性质二至性质五，可以另外起个名字。如性质二，可叫做九宫格三倍定律，简称3倍定律。性质三，可叫做九宫格相交相等定律，简称交等定律。性质四，可叫做九宫格过中心直线二倍定律，简称中心2倍定律。性质五，可叫做九宫格一角二棱三角形二倍定律，简称三角形2倍定律。也就是总共有4个定律，分别是3倍定律，交等定律，中心2倍定律和三角形2倍定律。起这样的名字，只是为了方便记忆，并没有特殊的含义，读者也可以取其它的名字。

对于复杂的小学问题，我们成年人最容易想到的解题方法就是解方程或者解方程组。而对于九宫格问题，我们可以准确的列出方程组，但是我们很难得到该方程组的通解。通过上文，我们可以看出，应用线性代数的知识，就能够很好的解答此类数学问题。在书写方面，也是比较简洁流畅的。难点在于，小学生很难理解矩阵的初等行变换，其本质上就是对方程组进行消元，得到等效的方程组。

本人是因为非常好奇，所以在大学毕业多年后，才通过网络学习，去搞懂线性代数到底是如何解方程组这个问题的。而九宫格问题，正好可以应用线性代数中的增广矩阵和矩阵初等行变换知识，于是我才很感兴趣写出了本文。

这类数学题目，能够很好的激发学生学习数学的兴趣，学习线性代数解方程组的兴趣。这是因为这类数学题目，并不是出题人挖空心思想出来的怪题和偏题，而是人类追求完美和平均的天性，自然就会提出来的一个数学问题。这也是本文发表出来的意义所在。

如果本文启发到你了，让你产生了学习数学的浓厚兴趣，请你在评论区告诉我。对于小学生，如果不能完全理解本文中的有关方程组和矩阵的知识，也没有关系，只要知道3倍定律，交等定律，中心2倍定律和三角形2倍定律这4个结论，是通过数学方法推导或者证明出来的，肯定是正确的，就行了。等你们将来上了大学，学过线性代数，你们就能够完全理解了。现在你们只要记住这4个结论，就能轻松的计算九宫格数学问题了。