15度角的正弦和余弦值几何算法

15度角的正弦和余弦值几何算法

在高中可以利用半角公式根据cos30°的值，计算sin15°和cos15°的值。在这里我们给出两个图形利用初中知识就可以计算它们。

我们利用下列图形计算sin15°和cos15°:

我们可以把等腰直角三角形ADE和30°-60°-90°的直角三角形DEB背靠背地放在一起，公共边设为1， 则DB=2。随后延长AD到C，并做BC垂直AC，这样形成了另外一个等腰直角三角形ABC。

在三角形DBC中∠DBC=15°，设DC=x,

在 ΔADE, DE=1 ，根据勾股定理, AD=√2

在 ΔBDE, DE=1 且∠DBE=30°所以 BD=2 且 BE=√3

在ΔABC, AB=1+√3， 所以 AC=BC=(1+√3)/√2:

AC=BC=(√2+√6)/2.

CD=x, AC=√2+x, 这样得出：

x=(√2+√6)2−√2=(√6−√2)/2

由于 sin15°=CD/BD=x/2, 这样得出：

sin15°=(√6−√2)/4

接下来根据 BC=(√2+√6)/2 和cos15∘=BC/BD:

cos15°=(√6+√2)/4.

通过验算上面的计算结果是符合正弦的倍角公式：

sin2α=2sinαcosα:

2sin15∘cos15∘=2[(√6−√2)/4]×[(√6+√2)/4]=2(6−2)/16=1/2=sin30∘.

For the record, we can also deliver the tangent:

tan15∘=2−√3

下图是另外一种方法假设由于15度角的正弦和余弦值，是几个直角三角形的组合成一个长方形。

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