最通俗的语言，分析微分、求导和积分的关系，推出一个重要的公式

#头条创作挑战赛#

老黄要用最通俗的语言告诉你，微分，求导和不定积分之间的关系。这是一个困扰很多人的问题，如果老黄讲得不好，欢迎批评讨论。当然最重要的其实是最后归纳出来的一个公式。

求导分为求导数值和求导函数两类，求导数值，其实就是求函数图像在某点切线的斜率k。显然在这个点必须存在切线，然后才会有斜率k的问题。注意，切线存在，有可能斜率是无穷大，这时导函数就没有意义。

而只要k是一个有限值，那么导函数表示的就是它关于自变量x的函数。即，k=f'(x)。我们习惯记成y=f'(x)的形式. 或者直接用y'表示.

求导的方法是通过对自变量x进行微分实现的，自变量的微分记为dx。在对自变量进行微分时，函数也同时会被微分，记为dy。从而就得到了导函数的微分形式f'(x)=dy/dx。我们称它为微商。微商其实是差商的极限，这就回到了导数的定义了。

所以，可以说微分是求导的一种方法，并不是说微分等于求导。

积分嘛，顾名思义，就是把微分的结果，重新堆积起来，你想想啊，上面你把原函数切成无穷多的小细块，再把它们重新堆积起来，不还是原函数吗？但是，这个时候就回不到原来的位置上去了，因为竖直的位置变得无法确定，所以我们把这类积分称为不定积分。以后还会讲到定积分 ，那又是另一回事了。定积分同样是堆积起来的，但侧重点不同。

因此，我们可以说积分是微分的一种延续，而不定积分和求导是互逆的过程。

根据三者的关系，我们可以得到下面四个公式。

证明：(1)(∫f(x)dx)’=f(x); (2)∫f’(x)dx=f(x)+C;

(3)d(∫f(x)dx)=f(x)dx; (4)∫df(x)=f(x)+C.

解释：(1)不定积分求导的结果是被积函数；

(2)导函数积分的结果是一个包含原函数的函数族，竖直方向的位置无法确定，所以用加上常数C来表示；

(3)对不定积分进行微分，相当于对原函数的微分。这里的f(x)是被积函数，即原函数的导数。原函数的微分等于它的导数与dx的积，这是微分和导数章节中分享的知识。

(3)最后一个公式最重要，它指的是，对微分再积分，得到原函数所在的函数族。

这些公式都比较难证明，因为它们都过于抽象，但是越困难的事情，越有挑战性，老黄就越喜欢。

证：根据不定积分的定义，知f(x)存在原函数,

设f(x)的原函数为F(x)+C, 即∫f(x)dx=F(x)+C.【这一点是各个公式的基础】

(1)∵(F(x)+C)’=f(x), ∴(∫f(x)dx)’=f(x).

(2)∵(f(x)+C)’=f’(x), ∴∫f’(x)dx=f(x)+C.

(3)d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

(4)∵df(x)=f’(x)dx, ∴∫df(x)=∫f’(x)dx=f(x)+C.

我们经常会利用最后一个公式来求一些不定积分，比如：

例：利用∫df(x)=f(x)+C，求∫sinxcosxdx.

解：∵dcos2x=-2sin2xdx=-4sinxcosxdx,

∴∫sinxcosxdx=-1/4*∫-4sinxcosxdx=-1/4∫dcos2x=-1/4*cos2x+C.

想要知道对不对，对这个结果求导，看看导数是不是原来的被积函数就可以了。当然，在你熟练的情况下，过程是可以写得更加简略的。现在你对微分，求导和积分的关系，有更深的理解了吗？